品质因数
物理意义
电感线圈、电容器品质因数：用于评价实际电感线圈、电容器的品质。实际电感、电容除储存能量外，都存在一定能量消耗。元件品质因数定义：
Q
=
d
e
f
2
π
储
能
的
最
大
值
一
周
期
内
的
耗
能
Q \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} 2\pi\frac{储能的最大值}{一周期内的耗能}
Q=def2π一周期内的耗能储能的最大值品质因数用来衡量元件质量的好坏，将品质因数扩展到谐振电路，表示谐振电路储能与耗能的比值。
电感线圈的品质因数
线圈电流：
i
=
2
I
c
o
s
ω
t
i = \sqrt{2}Icos\omega t
i=2
Icosωt电感储能：
w
L
(
t
)
=
1
2
L
i
2
=
L
I
2
c
o
s
2
ω
t
w_{L}(t)=\frac{1}{2}Li^{2}=LI^{2}cos^{2}\omega t
wL(t)=21Li2=LI2cos2ωt最大储能为：
L
I
2
LI^{2}
LI2一周期内线圈内阻r的耗能：
I
2
r
T
I^{2}rT
I2rT电感品质因数：
Q
L
=
2
π
L
I
2
I
2
r
T
=
2
π
f
L
r
=
ω
L
r
Q_{L}=2\pi\frac{LI^{2}}{I^{2}rT}=\frac{2\pi fL}{r} =\frac{\omega L}{r}
QL=2πI2rTLI2=r2πfL=rωL
电容的品质因数
电容电压：
u
=
2
U
c
o
s
ω
t
u=\sqrt{2}Ucos\omega t
u=2
Ucosωt电容储能：
w
C
(
t
)
=
1
2
C
u
2
=
C
U
2
c
o
s
2
ω
t
w_{C}(t)=\frac{1}{2}Cu^{2}=CU^{2}cos^{2}\omega t
wC(t)=21Cu2=CU2cos2ωt最大储能：
C
U
2
CU^{2}
CU2一周期电阻R耗能：
U
2
R
T
\frac{U^{2}}{R}T
RU2T电容品质因数：
Q
C
=
2
π
C
U
2
U
2
G
T
=
2
π
f
C
G
=
ω
C
G
=
ω
C
R
Q_{C}=2\pi\frac{CU^{2}}{U^{2}GT}=\frac{2\pi fC}{G} =\frac{\omega C}{G}=\omega CR
QC=2πU2GTCU2=G2πfC=GωC=ωCR
rLC串联谐振电路中的品质因数
电路谐振时，回路电流：
i
=
2
c
o
s
ω
0
t
i=\sqrt{2}cos\omega _{0}t
i=2
cosω0t电容电压相量：
U
C
0
˙
=
−
j
1
ω
0
C
I
0
˙
=
I
0
ω
0
C
∠
9
0
o
\dot{U_{C0}}=-j\frac{1}{\omega _{0}C}\dot{I_{0}}=\frac{I_{0}}{\omega _{0}C}\angle 90^{o}
UC0˙=−jω0C1I0˙=ω0CI0∠90o电容电压瞬间式：
u
c
0
=
2
I
0
ω
0
C
c
o
s
(
ω
0
t
−
9
0
o
)
=
2
I
0
ω
0
C
s
i
n
(
ω
0
t
)
u_{c0}=\sqrt{2}\frac{I_{0}}{\omega _{0}C}cos(\omega _{0}t-90^{o})=\sqrt{2}\frac{I_{0}}{\omega _{0}C}sin(\omega _{0}t)
uc0=2
ω0CI0cos(ω0t−90o)=2
ω0CI0sin(ω0t)电感储能：
w
L
0
(
t
)
=
1
2
L
i
L
0
2
=
L
I
0
2
c
o
s
2
ω
0
t
w_{L0}(t)=\frac{1}{2}Li_{L0}^{2}=LI_{0}^{2}cos^{2}\omega_{0}t
wL0(t)=21LiL02=LI02cos2ω0t电容储能：
w
C
0
(
t
)
=
1
2
C
u
C
0
2
=
C
(
I
0
w
0
C
)
2
s
i
n
2
ω
0
t
w_{C0}(t)=\frac{1}{2}Cu_{C0}^{2}=C(\frac{I_{0}}{w_{0}C})^{2}sin^{2}\omega_{0} t
wC0(t)=21CuC02=C(w0CI0)2sin2ω0t条件：谐振电路中
ω
0
L
=
1
ω
0
C
\omega_{0}L=\frac{1}{\omega_{0}C}
ω0L=ω0C1可得电容储能等于电感储能：
w
C
0
(
t
)
=
C
(
I
0
w
0
C
)
2
s
i
n
2
ω
0
t
=
L
I
2
s
i
n
2
ω
0
t
w_{C0}(t)=C(\frac{I_{0}}{w_{0}C})^{2}sin^{2}\omega_{0} t=LI^{2}sin^{2}\omega_{0} t
wC0(t)=C(w0CI0)2sin2ω0t=LI2sin2ω0t谐振电路的总储能为电感储能与电容储能之和：
w
0
(
t
)
=
w
L
0
(
t
)
+
w
C
0
(
t
)
=
L
I
0
2
=
C
U
0
2
,
(
常
数
)
w_{0}(t)=w_{L0}(t) +w_{C0}(t)=LI^{2}_{0}=CU^{2}_{0},(常数)
w0(t)=wL0(t)+wC0(t)=LI02=CU02,(常数)当电感储能最大时电容储能为零，反之亦然。谐振电路谐振时的品质因数：
Q
=
2
π
L
I
0
2
I
0
2
r
T
0
=
w
0
L
r
=
1
w
0
C
r
Q=2\pi\frac{LI^{2}_{0}}{I^{2}_{0}rT_{0}}=\frac{w_{0}L}{r}=\frac{1}{w_{0}Cr}
Q=2πI02rT0LI02=rw0L=w0Cr1谐振电路品质因数反映电路选频特性，品质因数越高，选频特性越好。
小结
品质因数反映器件和电路的特性。元件串联时，谐振电路品质因数和电阻成反比，电阻越大，品质因数越低。品质因数是衡量谐振电路优势的一个重要参数。